LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN
LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN
• JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA•
> Lingkaran Luar Segitiga
Bentuk berikutnya adalah sebuah lingkaran berjari-jari r yang terdapat di luar segitiga ABC. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat 3 titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. luar segitiga.
Sisi-sisi segitiga ABC memiliki panjang sisi sama dengan a, b, dan c. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.
Jari-jari lingkaran tersebut dapat dihitung menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar segitiga seperti persamaan di bawah.
Luas Bangun Datar Segi n Beraturan
Untuk menghitung luas pada segi n beraturan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus luas segitiga dengan aturan sinus di dalamnya. Adapun rumus segitiganya yaitu meliputi:
Luas Segitiga = ½.r.r.sin θ = ½ r² sin 360°/n
Rumus luas segitiga menggunakan aturan sinus di atas dapat digunakan untuk menghitung luas pada segi n beraturan. Adapun rumus luas segi n beraturan yaitu sebagai berikut:
Luas segi n = n × Luas Segitiga
Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n
Contoh Soal :
1.
pembahasan :
Untuk mengetahui luas daerah yang diarsir, kita perlu mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Sebelumnya, kita juga perlu mencari Keliling segitiga ABC, nilai s, dan segitiga ABC terlebih dahulu.
KΔABC = AB + BC + CA
KΔABC = 21 + 10 + 17 = 48 cm
Menghitung nilai s:
s = 1/2 × KΔABC
s = 1/2 × 48 = 24 cm
Karena segitiga di luar lingkaran merupakan segitiga tidak beraturan, maka luas diperoleh dengan cara berikut.
Menghitung nilai jari-jari lingkaran:
> Lingkaran Dalam Segitiga
Sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.
Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga diberikan seperti persamaan di bawah.
CONTOH SOAL :
1.
• Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran
Diketahui lingkaran besar A dengan panjang jari-jari R dan lingkaran kecil B dengan panjang jari-jari r. Garis PQ merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan lingkaran B dengan panjang PQ = m, sehingga garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ (garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran di titik singgung). Garis AB adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran A dengan titik pusat lingkaran B, sehingga AB = d merupakan jarak pusat kedua lingkaran. Garis QT sejajar dan sama panjang denga garis AB, sehingga AB = QT = d. Garis BQ sejajar dan sama panjang dengan garis AT, sehingga AT = BQ = r sehingga PT = R - r.
Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL) Dua Lingkaran
Perhatikan gambar lingkaran di atas!
Segitiga PQT merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di titik P, dan QT merupakan sisi miring sehingga berlaku rumus Pythagoras:
m = PQ adalah panjang garis singgung persekutuan luar.
d = AB adalah jarak titik pusat kedua lingkaran.
R adalah panjang jari-jari lingkaran besar.
r adalah panjang jari-jari lingkaran kecil.
R > r.
Perlu diingat, bahwa PQ = m, (R - r), dan AB = d merupakan sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku dimana AB merupakan sisi miring dan PQ dan (R - r) merupakan sisi siku-siku. Untuk lebih memahami tentang materi garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, silahkan pelajari contoh soal yang berikut.
Contoh Soal nomor 1:
Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, panjang jari-jari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah . . . .
A. 16 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 30 cm
[Garis Singgung Persekutuan Luar GSPL]
Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!
d = PQ = 26 cm → Jarak kedua pusat lingkaran.
R = 12 cm → Jari-jari lingkaran besar.
r = 2 cm → Jari-jari lingkaran kecil.
Contoh Soal nomor 2:
Jari-jari lingkaran yang berpusat di A sama dengan 2 kali jari-jari lingkaran yang berpusat di B. Jika panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu 36 cm dan jarak kedua pusatnya 39 cm, maka panjang jari-jari lingkaran A adalah . . .
A. 15 cm
B. 20 cm
C. 25 cm
D. 30 cm
[Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL)]
Pembahasan:
R = 2r → Jari-jari lingkaran besar sama dengan dua kali jari-jari lingkaran kecil.
m = 36 → Panjang garis singgung persekutuan luar.
d = 39 cm → Jarak pusat kedua lingkaran.
Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.
Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.
Lingkaran besar A panjang jari-jari R dan lingkaran kecil B panjang jari-jari r. Garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ, sehingga garis PQ menyinggung kedua lingkaran (jari-jari selalu tegak lurus garis singgung di titik singgung). Dengan demikian garis PQ merupakan Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) lingkaran A dan lingkaran B. Jarak antara pusat lingkaran besar A dengan pusat lingkaran kecil B adalah AB = d. Panjang garis PT sama dengan panjang garis BQ dan garis PT sejajar garis BQ, sehingga PT = BQ = r. Garis PQ sejajar dan sama panjang dengan garis BT, sehingga PQ = BT = m.
Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) Dua Lingkaran
Segitiga ABT merupakan segitiga siku-siku dan siku-siku di T, sehingga berlaku rumus Pythagoras:
m = PQ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
d = AB adalah jarak pusat lingkaran besar dengan pusat lingkaran kecil.
R adalah jari-jari lingkaran besar.
r adalah jari jari lingkaran kecil.
R > r.
CONTOH SOAL 1:
Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah . . . . cm.
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]
Perhatikan gambar berikut! Jika panjang PQ = 20 cm, maka jarak antara pusat lingkaran A dengan pusat lingkaran B adalah . . . . cm.
B. 25
C. 27
D. 30
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]
Pada gambar di bawah, panjang AB = 52 cm, PQ = 48 cm, dan AP lebih panjang 8 cm dari BQ. Panjang jari-jari lingkaran B adalah
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
[Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD)]
